ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ AM-GM CAUCHY-SCHWARZ

Οι ανισότητες εμφανίσθηκαν στα μαθηματικά πριν από πάρα πολύ καιρό. Πλέον, έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι, τεχνάσματα και ιδέες από ευφυείς ανθρώπους, επιστή- μονες και καθηγητές όπου μας βοηθούν να επιλύσουμε ή έστω να αποδείξουμε έναν αξιοπρεπή αριθμό ανισοτήτων. Μέσα από την πληθώρα των θεωρημάτων και των βασικών ανισοτήτων που υπάρχουν σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, δύο ξε- χωρίζουν για την ομορφιά τους και τη δύναμη που κατέχουν στην διευκόλυνση της λύσης των ανισοτήτων. Είναι οι ανισότητες AM-GM και Cauchy-Schwarz. Σε αυτό εδώ το βιβλίο παρουσιάζω τις δύο αυτές ανισότητες. Αρχικά, δίνω κάποια ιστορικά στοιχεία, στη συνέχεια τις ανισότητες με τις αποδείξεις τους και τέλος παραδείγματα συνοδευόμενα από μεθόδους και τεχνάσματα που μπορούν να βοη- θήσουν τον αναγνώστη να αναπτύξει το ταλέντο του στις ανισότητες. Με περίπου 182 προβλήματα ανισοτήτων σε αυτό εδώ το βιβλίο, τα οποία έχουν ταξινομηθεί ανάλογα με τη λύση τους και τη μέθοδο απόδειξής τους, οι αναγνώστες μπορούν να δουν την κεντρική ιδέα που κυριαρχεί στον κλάδο των ανισοτήτων και να ανακαλύ- ψουν επίσης νέες ιδέες και τεχνάσματα που ”σπάζουν” τα προβλήματα αυτά πολύ εύκολα και έξυπνα. Προσπάθησα όσο το δυνατόν περισσότερο να δώσω κατανοητές λύσεις έτσι ώστε οποιοσδήποτε ο οποίος έχει βάσεις στις ανισότητες να καταλάβει τον τρόπο επίλυ- σής των προβλημάτων. Τα προβλήματα αυτά είναι κατάλληλα για μαθητές, φοιτητές αλλά και καθηγητές οι οποίοι αγαπούν τα μαθηματικά και τις ανισότητες. Είναι, τέ- λος, ένα χρήσιμο βοήθημα για τους μαθητές και φοιτητές οι οποίοι διαγωνίζονται σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Πολλά από τα προβλήματα είναι προσωπικές κα- τασκευές. Τα υπόλοιπα, δημιουργίες ξένων μαθηματικών ή ακόμη και προβλήματα από εθνικούς και διεθνείς μαθηματικούς διαγωνισμούς. Εύχομαι το βιβλίο αυτό να βοηθήσει τους αναγνώστες να αναπτύξουν μια καλύτερη σχέση με τις ανισότητες και να τους τροφοδοτήσει με επιπλέον ιδέες και μεράκι για να ασχοληθούν ακόμη περισσότερο με αυτές.